Question

已知盒中有n个黑球和m个白球，连续不放回地从中随机取球，每次取一个，直至盒中无球，规定：第i次取球若取到黑球得2ⁱ，取到白球不得分，记随机变量ξ为总的得分数．
（Ⅰ）当n=m=2时，求P（ξ=10）；
（Ⅱ）若m=1，求随机变量ξ的期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）当n=m=2时，ξ=10表示4次中，第1次和第3次取到黑球，即可求出概率；
（Ⅱ）当m=1时，随机变量ξ的取值有：2¹+2²+…+2ⁿ⁺¹-2^k，k=1，2，3，…，n+1，因为随机变量ξ的取值的概率为

1

n+1

，即可求随机变量ξ的期望E（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）当n=m=2时，ξ=10表示4次中，第1次和第3次取到黑球，
所以P（ξ=10）=

A 2 2 A 2 2

4!

=

1

6

；
（Ⅱ）当m=1时，随机变量ξ的取值有：2¹+2²+…+2ⁿ⁺¹-2^k，k=1，2，3，…，n+1，
即2ⁿ⁺²-2-2^k，k=1，2，3，…，n+1，
因为随机变量ξ的取值的概率为

1

n+1

，
所以期望E（ξ）=

1

n+1

[（2ⁿ⁺²-2-2）+…+（2ⁿ⁺²-2-2ⁿ⁺¹）]=

n(2n+2-2)

n+1

．

点评：本题考查概率的计算，考查随机变量ξ的期望E（ξ），考查学生的计算能力，属于中档题．