Question

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且

AC

•

BC

=0，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆E的方程；
（2）在椭圆E上是否存点Q，使得|QB|²-|QA|²=2？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作⊙O：x²+y²=

4

3

的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：

1

3m2

+

1

n2

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）椭圆的长半轴长a=2，推出A（2，0），设椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，由椭圆的对称性知|OC|=|OB|通过

AC

•

BC

=0，推出△AOC为等腰直角三角形，将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得b椭圆E的方程；
（2）设在椭圆E上是否存点Q，使得|QB|²-|QA|²=2，说明直线经过椭圆内的点，判断点的个数即可．
（3）设点P（x₁，y₁），由M、N是⊙0的切点知，OM⊥MP，ON⊥NP，推出圆的方程，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作⊙O：x²+y²=

4

3

的两条切线，切点分别为M、N，求出直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，然后证明：

1

3m2

+

1

n2

为定值．

解答： 解：（1）依题意知：椭圆的长半轴长a=2，则A（2，0），
设椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1-----------------------（2分）
由椭圆的对称性知|OC|=|OB|又∵

AC

•

BC

=0，|BC|=2|AC|
∴AC⊥BC，|OC|=|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，
∴点C的坐标为（1，1），点B的坐标为（-1，-1），---------------------（4分）
将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得b²=

4

3

，
∴所求的椭圆E的方程为

x2

4

+

3y2

4

=1-----------------------------（5分）
（2）设在椭圆E上存在点Q，使得|QB|²-|QA|²=2，
设Q（x₀，y₀），则|QB|²-|QA|²=（x₀+1）²+（y₀+1）²-（x₀-2）²-y₀²=6x₀+2y₀-2=2，
即点Q在直线3x+y-2=0上，-----------------------------------------（7分）
∴点Q即直线3x+y-2=0与椭圆E的交点，
∵直线3x+y-2=0过点（

2

3

，0），而点椭圆（

2

3

，0）在椭圆E的内部，
∴满足条件的点Q存在，且有两个．-----------------------------------（9分）
（3）设点P（x₁，y₁），由M、N是⊙0的切点知，OM⊥MP，ON⊥NP，
∴O、M、P、N四点在同一圆上，-----------------------------------（10分）
且圆的直径为OP，则圆心为(

x1

2

，

y1

2

)，
其方程为(x-

x1

2

)2+(y-

y1

2

)2=

x12+y12

4

，----------------------（11分）
即x²+y²-x₁x-y₁y=0-----④
即点M、N满足方程④，又点M、N都在⊙O上，


∴M、N坐标也满足方程⊙O：x²+y²=

4

3

---------------⑤
⑤-④得直线MN的方程为x₁x+y₁y=

4

3

，------------------------------（12分）
令y=0得m=

4

3x1

，令x=0得n=

4

3y1

，------------------------（13分）
∴x₁=

4

3m

，y₁=

4

3n

，又点P在椭圆E上，
∴(

4

3m

)2+3(

4

3n

)2=4，即

1

3m2

+

1

n2

=

3

4

为定值．-----------------------（14分）

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，过定点问题的解题策略．