题目内容
已知以原点为中心，F（
，0）为右焦点的椭圆C，过点F垂直于x轴的弦AB长为4．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设M、N为椭圆C上的两动点，且
⊥
，点P为椭圆C的右准线与x轴的交点，求
•
取值范围．
| 3 |
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设M、N为椭圆C上的两动点，且
| OM |
| ON |
| PM |
| PN |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设椭圆C的标准方程为
+
=1（a＞b＞0），由已知条件推导出|AB|=
=4，a2-b2=(
)2，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线MN方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），则
，得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-18=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出
•
的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2b2 |
| a |
| 3 |
（2）设直线MN方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），则
|
| PM |
| PN |
解答：
解：（1）设椭圆C的标准方程为
+
=1（a＞b＞0），
则|AB|=
=4，即b2=2a，
∵F（
，0）为椭圆右焦点，
∴a2-b2=(
)2，
解得a=3，b2=6，
∴椭圆C的标准方程为
+
=1．
（2）设直线MN方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
则
，得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-18=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
，
由
⊥
，得
•
=0，即x1x2+y1y2=0，
（1+k2）x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
+
+m2=0，
∴m2=
(1+k2)，此时△＞0，
椭圆C的右准线方程为x=3
，则P（3
，0）
•
=（x1-3
，y1）•（x2-3
，y2）
=-3
（x1+x2）+27=27+
，
令T=
，则T2=
=
，
令t=2+3k2≥2，则T2=
•
=
•(-
-
+1)∈[0，
）．
即T∈∈(-
，
)，
•
∈（27-
，27+
），
当MN⊥x轴时，令M（x0，y0），N（x0，-x0）在椭圆上，
则
+
=1，解得x0=±
．
•
=(x0-3
)2-x02=27-6
x0=27±
．
综上，
•
∈[27-
，27+
]．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则|AB|=
| 2b2 |
| a |
∵F（
| 3 |
∴a2-b2=(
| 3 |
解得a=3，b2=6，
∴椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 6 |
（2）设直线MN方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
则
|
∴x1+x2=-
| 6km |
| 2+3k2 |
| 3m2-18 |
| 2+3k2 |
由
| OM |
| ON |
| OM |
| ON |
（1+k2）x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
| (1+k2)(3m2-18) |
| 2+3k2 |
| -6k2m2 |
| 2+3k2 |
∴m2=
| 18 |
| 5 |
椭圆C的右准线方程为x=3
| 3 |
| 3 |
| PM |
| PN |
| 3 |
| 3 |
=-3
| 3 |
18
| ||
| 2+3k2 |
令T=
| km |
| 2+3k2 |
| k2m2 |
| (2+3k2)2 |
k2•
| ||
| (2+3k2)2 |
令t=2+3k2≥2，则T2=
| 18 |
| 5 |
| ||||
| t2 |
=
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| t2 |
| 1 |
| t |
| 2 |
| 5 |
即T∈∈(-
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
| PM |
| PN |
| 18 |
| 5 |
| 30 |
| 18 |
| 5 |
| 30 |
当MN⊥x轴时，令M（x0，y0），N（x0，-x0）在椭圆上，
则
| x02 |
| 9 |
| (-x0)2 |
| 6 |
3
| ||
| 5 |
| PM |
| PN |
| 3 |
| 3 |
18
| ||
| 5 |
综上，
| PM |
| PN |
18
| ||
| 5 |
18
| ||
| 5 |
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
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