Question

设f（x）满足f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx（|x|≤

π

2

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）要求函数的解析式，先将x用“-x”替换，得到关于“sinx”的关系式，再利用换元法得到函数f（x）的解析式；（2）利用基本不等式可以求出函数的最大值．

解答： 解：（1）∵f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx（|x|≤

π

2

）． ①
∴将x用“-x”代入，得到：
f[-sin（-x）]+3f[sin（-x）]=4sin（-x）•cos（-x），
即f（sinx）+3f（-sinx）=-4sinx•cosx．②
再将①×3-②得：
8f（sinx）=16sinx•cosx，
f（sinx）=2sinx•cosx．
∵|x|≤

π

2

，
∴cosx=

1-sin2x

．
∴f(sinx)=2sinx

1-sin2x

．
令sinx=t，则有：f(t)=2t

1-t2

 ， t∈[-1，1]．
即f(x)=2x

1-x2

 ， x∈[-1，1]．
（2）∵2ab≤a²+b²（a＞0，b＞0），
∴当x＞0时，2x

1-x2

≤x2+(1-x2)=1，
当且仅当x=

1-x2

，即x=

2

2

时取等号．
∵

2

2

∈[-1，1]，
∴可以取到最大值．
∴f（x）的最大值为1．

点评：本题考查了函数的解析式和最值的求法，利用函数方程思想和换元法求函数的解析式，利用基本不等式求函数的最值，注意不等式取等号的条件．本题有一定的综合性，属于中档题．