Question

若关于x的方程lnx=ax有两个不同实数解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：将方程的根的问题，转化为函数的交点问题，求出切线方程，从而求出a的范围．

解答： 解：显然a＜0时，函数y=lnx，y=ax只有1个交点，
分别画出y=lnx，y=ax（a＞0）的图象，如图示：
，
当y=lnx，y=ax相切时，a=

1

x

，
∴y=ax=

1

x

•x=1，此时y=lnx=1，因此x=

1

e

，
∴两个图象相切时的斜率k=

1

e

，
∴a的范围是（0，

1

e

），
故答案为：(0，

1

e

)．

点评：本题考查了方程的根的存在性问题，导数的应用，对数函数的性质，考查转化思想，数形结合思想，是一道综合题．