Question

已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点．
（1）如图所示，若

AM

=

1

4

MB

，求直线l的方程；
（2）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线的标准方程中的p与焦点的关系即可得到p的值，得到抛物线的方程，设直线方程为x=my+4与抛物线方程联立，利用

AM

=

1

4

MB

，即可求直线l的方程；
（2）求得对称点P的坐标，代入抛物线的方程可得m的值，再把直线l的方与椭圆的方程联立消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程，由于有公共点，可得△≥0，即可得到a的取值范围，进而得到椭圆长轴长的最小值．

解答： 解：（1）由题意，抛物线C₂的焦点F（1，0），则p=2．
所以方程为：y²=4x．…（2分）
设直线方程为x=my+4，并设A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y₂），
因为

AM

=

1

4

MB

，所以y1=-

1

4

y2
联立

x=my+4 y2=4x

，可得y²-4my-16=0，有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
因为y1=-

1

4

y2，
所以解得：y₁=-2，y₂=8，m=

3

2

，
所以直线方程为：2x-3y-8=0 …（6分）
（2）求得对称点P（

8

1+m2

，

-8m

1+m2

），…（8分）
代入抛物线中可得：m=±1，直线l方程为x=±y+4，考
虑到对称性不妨取x=y+4，椭圆设为

x2

λ

+

y2

λ-1

=1（λ＞1）
联立直线和椭圆并消元整理（2λ-1）y²+8（λ-1）y+λ²+17λ-16=0，…（10分）
因为椭圆与直线有交点，所以△=64（λ-1）²+4（λ-1）（λ-16）（2λ-1）≥0，
解得λ≥

17

2

                              …（12分）
即a²≥

17

2

，所以a≥

34

2

 
所以长轴长的最小值为

34

．                …（13分）

点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率的计算公式、中点坐标公式、轴对称等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力、分析问题和解决问题的能力．