Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1n≥2

可求得a_n，易求b₁，由b₂（a₂-a₁）=b₁可求b₂，从而可得公比，进而可得b_n；
（2）由（1）可得cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，由裂项相消法可求得T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
故{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，即{a_n}是a₁=1，公差d=2的等差数列．
设{b_n}的公比为q，则b₁=a₁=1，又b₂（a₂-a₁）=b₁，
∴b2=

1

2

∴q=

1

2

，
故bn=b1qn-1=1×

1

2n-1

，即{bn}的通项公式为bn=

1

2n-1

．
（2）∵a_n=2n-1，
∴cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，
Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和问题，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．