Question

已知数列{a_n}中，a₁=6，a_n+1+a_n=3•2ⁿ⁺¹，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=a_n-2ⁿ⁺¹，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）在数列{a_n}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若1＜r＜s且r，s∈N^*，求证：使得a₁，a_r，a_s成等差数列的点列（r，s）在某一条直线上．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）将条件变形，构造符合条件的数列，即可证明数列{a_n-2ⁿ}是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）假设在数列{a_n}中存在连续三项成等差数列，代入相应的项，化简可得结论；
（Ⅲ）若a₁，a_r，a_s成等差数列，则2a_r=a₁+a_s，代入变形整理，对r、s进行讨论，可得结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_n+1+a_n=3•2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1-2ⁿ⁺²=-a_n+3•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²，
化简可得a_n+1-2ⁿ⁺²=-（a_n-2ⁿ⁺¹），
即b_n+1=-b_n，
又a₁=6，
∴b1=a1-22=6-4=2≠0，
∴数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b₁=a₁-2¹⁺¹=2，公比q=-1，
得b_n=2×（-1）^n-1，
又b_n=a_n-2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1+2×(-1)n-1．
假设在数列{a_n}中存在连续三项a_k，a_k+1，a_k+2成等差数列，
则有2×（2^k+1+1+2×（-1）^k+1-1）=2^k+1+2×（-1）^k-1+2^k+2+12×（-1）^k+2-1，
化简可得（-1）^k=2^k-1+（-1）^k+1，
当k取偶数2时，上式成立，
故存在满足条件的连续三项a₂，a₃，a₄为成等差数列；
（Ⅲ）证明：若1＜r＜s且r，s∈N^*，
要使得a₁，a_r，a_s成等差数列，
则2a_r=a₁+a_s，
即2[2×（-1）^r-1+2^r+1]=6+2×（-1）^s-1+2^s+1，
变形得：2（-1）^r-1+2•2^r=3+（-1）^s-1+2^s，
由于r，s∈N^*且1＜r＜s，下面对r、s进行讨论：
①若r，s均为偶数，则2^s-2^r+1=-4＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；
②若r为奇数，s为偶数，则2^s-2^r+1=0，解得s=r+1；
③若r为偶数，s为奇数，则2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；
④若r，s均为奇数，则2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；
综上①②③④可知，只有当r为奇数，s为偶数时，a₁，a_r，a_s成等差数列，
此时满足条件点列（r，s）落在直线y=x+1（其中为正奇数）上．
∴点列（r，s）在某一条直线上．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．