Question

设f（x）=x|x-1|-blnx+m，（b，m∈R）
（Ⅰ）当b=3时，判断函数f（x）在[l，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）记h（x）=f（x）+blnx，当m＞1时，求函数y=h（x）在[0，m]上的最大值；
（Ⅲ）当b=1时，若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出f′（x）=

2x2-x-3

x

=

(2x-3)(x+1)

x

，解不等式即可．
（2）分类讨论当x∈[0，1]时，h（x）=-（x-

1

2

）²+m+

1

4

，当x∈（1，m]时，h（x）=（x-

1

2

）²+m-

1

4

，再利用单调性求解最值．
（3）转化为m=lnx-x|x-1|有解，构造函数g（x）=lnx-x|x-1|，利用导数判断单调性，借助最值研究．

解答： 解：（1）当b=3时，因为x＞1，则f（x）=x²-x-3lnx+m，
f′（x）=

2x2-x-3

x

=

(2x-3)(x+1)

x

，
当x≥

3

2

时，f′（x）＞0，所以f（x）在[

3

2

，+∞）单调递增
当x∈[1，

3

2

]时，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，

3

2

）单调递减
（2）h（x）=f（x）+m，
∴当x∈[0，1]时，h（x）=-（x-

1

2

）²+m+

1

4

，
∴当x=

1

2

时，h（x）_min=m+

1

4

∵h（x）∈在（1，m]单调递增，
∴h（x）_max=m²
由²≥m+

1

4

，
又m＞1，
∴可得m≥

1+ 2

2

，
∴当m≥

1+ 2

2

时，h（x）_max=m²，
当1＜m＜

1+ 2

2

时，h（x）_max=m+

1

4

（3）b=1时，函数f（x）有零点，即x|x-1|-lnx+m=0有解，
即当x∈（0，1]时，g（x）=x²-x+lnx，
∵g′（x）=2x-1+

1

x

≥2

2

-1＞0，
∴g（x）=lnx-x|x-1|，在（0，1]单调递增，
∴g（x）≤g（1）=0
=-

(x-1)(2x+1)

x

＜0，
当x∈（1，+∞）时，g（x）=-x²+x+lnx，
g′（x）=-

(x-1)(2x+1)

x

＜0，
∴g（x）=lnx-x|x-1|，在（1，+∞）单调递减，
∴g（x）＜g（1）=0
∴m=lnx-x|x-1|有解时，实数的取值范围为：m≤0

点评：本题综合考察了函数的单调性，零点，不等式等知识，属于难题．