Question

已知函数f（x）=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R，
（1）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的最大值M（a）的表达式；
（3）当a∈（1，3）时，求证：函数f（x）存在反函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,反函数

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）若a=1，f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

在[1，6]上是增函数；
（2）分类讨论函数的单调性求最值；
（3）证明有反函数只要证明单调即可．

解答： 解：（1）若a=1，
f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

在[1，6]上是增函数，证明如下：
∵y=x在[1，6]上是增函数，y=-

9

x

在[1，6]上是增函数，
∴f（x）=x-

9

x

在[1，6]上是增函数，
（2）若a≤1，则
f（x）═x-

9

x

在[1，6]上是增函数，M（a）=f_max（x）=6-

3

2

=

9

2

；
若1＜a≤3，
则f（x）=|x-a|-

9

x

+a=

a-x- 9 x +a，1≤x≤a x- 9 x ，a≤x≤6

，
则f（x）在在[1，6]上是增函数，
M（a）=f_max（x）=6-

3

2

=

9

2

；
若3＜a＜6，
则f（x）=|x-a|-

9

x

+a=

a-x- 9 x +a，1≤x≤a x- 9 x ，a≤x≤6

，
f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
又∵f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
则当3＜a≤

21

4

时，M（a）=f_max（x）=6-

3

2

=

9

2

；
当

21

4

＜a＜6时，M（a）=f_max（x）=2a-6，
当a≥6时，f（x）=|x-a|-

9

x

+a=2a-x-

9

x

，
M（a）=f_max（x）=f（3）=2a-6，
综上所述，M（a）=

9 2 ，a≤ 21 4 2a-6，a＞ 21 4

；
（3）证明：∵a∈（1，3）时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）存在反函数．

点评：本题考查了函数的基本性质的应用，属于基础题．