Question

5．已知实数a＞0，且函数$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer 1

分析 根据题意，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，代入数据，计算可得a的值，对f（x）的表达式变形，用作差法判断函数单调性即可．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$为奇函数，实数a＞0，
∴有f（0）=0，即$\frac{1-a}{1+a}$=0，解可得a=1，∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
理由：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函数．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．