Question

20．已知函数f（x）=a•2^x+b的图象过点$A（{1，\frac{3}{2}}）$，$B（{2，\frac{5}{2}}）$．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）的解析式；
（2）若$F（x）={f^{-1}}（{{2^{x-1}}}）-{log_{\frac{1}{2}}}f（x）$，求使得F（x）≤0的x取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）=$\frac{1}{2}×{2}^{x}$+$\frac{1}{2}$，由此能求出y=f（x）的反函数y=f^-1（x）的解析式．
（2）推导出$F（x）={f^{-1}}（{{2^{x-1}}}）-{log_{\frac{1}{2}}}f（x）$=$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{{2}^{x}+1}{2}）$，由F（x）≤0，得$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）$≤$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{{2}^{x}+1}{2}）$=$lo{g}_{2}（\frac{2}{{2}^{x}+1}）$，由此能求出x取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=a•2^x+b的图象过点$A（{1，\frac{3}{2}}）$，$B（{2，\frac{5}{2}}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=\frac{3}{2}}\\{4a+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}×{2}^{x}$+$\frac{1}{2}$，
设y=$f（x）=\frac{1}{2}×{2}^{x}+\frac{1}{2}$，
则2^x=2y-1，x=log₂（2y-1），
x，y互换得y=f（x）的反函数y=f^-1（x）的解析式为y=f^-1（x）=log₂（2x-1），x$＞\frac{1}{2}$．
（2）∵$F（x）={f^{-1}}（{{2^{x-1}}}）-{log_{\frac{1}{2}}}f（x）$
=$lo{g}_{2}（2×{2}^{x-1}-1）$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}×{2}^{x}+\frac{1}{2}）$=$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{{2}^{x}+1}{2}）$，
F（x）≤0，
∴$lo{g}_{2}（{2}^{x}-1）$≤$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{{2}^{x}+1}{2}）$=$lo{g}_{2}（\frac{2}{{2}^{x}+1}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1＞0}\\{\frac{2}{{2}^{x}+1}＞0}\\{{2}^{x}-1≤\frac{2}{{2}^{x}+1}}\end{array}\right.$，解得0＜x＜$lo{g}_{2}\sqrt{3}$．
∴x取值范围是（0，$lo{g}_{2}\sqrt{3}$）．

点评 本题考查反函数的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意反函数、对数性质的合理运用．