Question

15．如图，已知平面BCC₁B₁是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC₁的中点，已知AB=AC=AA₁=4
（1）求证：B₁O⊥平面AEO
（2）求二面角B₁-AE-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）依题意可知，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明B₁O⊥平面AEO．
（2）求出平面AEO的法向量和平面B₁AE的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-AE-F的余弦值．

解答 证明：（1）依题意可知，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，
如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA₁=4，
则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B₁（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）
$\overrightarrow{{B}_{1}O}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{EO}$=（2，-2，-2），$\overrightarrow{AO}$=（2，2，0），（3分）
$\overrightarrow{{B}_{1}O}$•$\overrightarrow{EO}$=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}O}$⊥$\overrightarrow{EO}$，∴B₁O⊥EO，
$\overrightarrow{{B}_{1}O}•\overrightarrow{AO}$=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴$\overrightarrow{{B}_{1}O}$⊥$\overrightarrow{AO}$，∴B₁O⊥AO，（5分）
∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO，
∴B₁O⊥平面AEO．（6分）
（2）由（1）知，平面AEO的法向量为$\overrightarrow{{B}_{1}O}$=（-2，2，-4），（7分）
设平面 B₁AE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AE}=（0，4，2），\overrightarrow{{B}_{1}A}=（-4，0，-4=0$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}A}=x+z=0}\end{array}\right.$，令x=2，则$\overrightarrow{n}$=（2，2，-2），（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{B}_{1}O}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}O}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{B}_{1}O}|}$=$\frac{6}{\sqrt{9}×\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．