Question

S={直线l|

sinθ

m

x+

cosθ

n

y=1，m，n为正常数，θ∈[0，2π）}，给出下列结论：
①当θ=

π

4

时，S中直线的斜率为

n

m

；
②S中所有直线均经过同一个定点；
③当m=n时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离相等；
④当m＞n时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n；
⑤S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面．
其中错误的结论是

 

．（写出所有错误结论的编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆,简易逻辑

分析：①当θ=

π

4

时，sinθ=cosθ，S中直线的斜率为-

n

m

；
②S中所有直线均经过一个定点，不正确；
③当m=n时，方程为xsinθ+ycosθ=m，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等；
④当m＞n时，S中的两条平行直线间的距离为d=

2

sin2θ m2 + cos2θ n2

≥2n，可得最小值为2n；
⑤由（0，0）不满足方程判断命题错误．

解答： 解：①当θ=

π

4

时，sinθ=cosθ，S中直线的斜率为-

n

m

，故①不正确；
②根据

sinθ

m

x+

cosθ

n

y=1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，②不正确；
③当m=n时，方程为xsinθ+ycosθ=m，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等，③正确；
④当m＞n时，S中的两条平行直线间的距离为d=

2

sin2θ m2 + cos2θ n2

≥2n，即最小值为2n，④正确；
⑤（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面．
故答案为：①②⑤．

点评：本题考查直线系方程的应用，要明确直线系中直线的性质，结合图形，判断各个命题的正确性．