Question

已知函数f（x）=x²+2xtanθ-1，θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[-1，

3

]上为单调函数，求θ的取值范围；
（Ⅱ）若当θ∈[-

π

3

，

π

3

]时，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值为g（θ），求g（θ）的表达式．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）f（x）为二次函数，所以求出对称轴为x=-tanθ，所以可得到-tanθ≤-1，或-tanθ≥

3

，再根据已知的θ∈(-

π

2

，

π

2

)求出θ的取值范围即可；
（Ⅱ）由θ∈[-

π

3

，

π

3

]可求出-tanθ∈[-

3

，

3

]，所以讨论-

3

≤-tanθ≤-1，及-1＜-tanθ≤

3

，根据二次函数的单调性及取得顶点的情况即可求出y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值g（θ）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的对称轴为x=-tanθ；
∴由f（x）在[-1，

3

]上为单调函数得：
-tanθ≤-1，或-tanθ≥

3

；
即tanθ≥1，或tanθ≤-

3

；
又θ∈(-

π

2

，

π

2

)；
∴θ∈[

π

4

，

π

2

)，或θ∈(-

π

2

，-

π

3

]；
∴θ的取值范围为(-

π

2

，-

π

3

]∪[

π

4

，

π

2

)；
（Ⅱ）θ∈[-

π

3

，

π

3

]时，-tanθ∈[-

3

，

3

]；
∴①当-

3

≤-tanθ≤-1，即

π

4

≤θ≤

π

3

时，f（x）在[-1，

3

]上单调递增；
∴g（θ）=f（-1）=-2tanθ；
②当-1＜-tanθ≤

3

，即-

π

3

≤θ＜

π

4

时，g（θ）=f（-tanθ）=-tan²θ-1；
∴g(θ)=

-tan2θ-1 - π 3 ≤θ＜ π 4 -2tanθ π 4 ≤θ≤ π 3

．

点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及正切函数的图象，根据二次函数的单调性及取得顶点的情况求最值．