Question

下列命题中正确的命题个数是（　　）
①．如果

a

，

b

，

c

共面，

b

，

c

，

d

也共面，则

a

，

b

，

c

，

d

共面；
②．已知直线a的方向向量

a

与平面α，若

a

∥α，则直线a∥α；
③若P、M、A、B共面，则存在唯一实数x，y使

MP

=x

MA

+y

MB

，反之也成立；
④．对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：通过举特例，可得①不正确；②的结论少了一种情况，故②不正确；通过举特例，可得③不正确；由共面向量基本定理的推论，可得④不正确，从而得出结论．

解答： 解：不妨令

b

与 

c

共线，

a

 与

b

不共线，

a

与 

d

不共线，满足

a

，

b

，

c

共面，

b

，

c

，

d

也共面，
但

a

，

b

，

c

，

d

不一定共面，故①不正确．
已知直线a的方向向量

a

与平面α，若

a

∥α，则直线a∥α或a?α，故②不正确．
不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y使

MP

=x

MA

+y

MB

成立，故③不正确．
由共面向量基本定理的推论，可得对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x+y+z=1），则P、A、B、C四点共面，
由于④中缺少条件x+y+z=1，故④不正确，
故选：D．

点评：本题考查空间向量中的概念，共面向量基本定理及推论，解决的主要方法是特例法与转化思想的灵活运用，属于中档题．