Question

是否存在实数a，使得函数y=sin²x+acos x+

5

8

a-

3

2

在闭区间[-

π

2

，

π

3

]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,存在型,三角函数的求值

分析：假设存在实数a，使得函数最大值是1．化简函数并令t=cosx，求得0≤t≤1．将函数式配方，可得y=-（t-

1

2

a）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，讨论①当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，③当

a

2

＞1，即a＞2时，③当

a

2

＞1，即a＞2时，函数的最大值，解方程即可得到．

解答： 解：假设存在实数a，使得函数y=sin²x+acos x+

5

8

a-

3

2

在闭区间[-

π

2

，

π

3

]上的最大值是1．
由已知得y=-cos²x+acosx+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

1

2

a）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，
令t=cosx，则由于x∈[-

π

2

，

π

3

]，则0≤t≤1，
即有y=-（t-

1

2

a）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，0≤t≤1．
①当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，则当t=

a

2

，
即cosx=

a

2

时．y_max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

=1，解得a=

3

2

或a=-4（舍去）．
②当

a

2

＜0，即a＜0时，则当t=0，即cos x=0时，
y_max=

5

8

a-

1

2

=1，解得a=

12

5

（舍去）．
③当

a

2

＞1，即a＞2时，则当t=1，即cos x=1时，
y_max=a+

5

8

a-

3

2

=1，解得a=

20

13

（舍去）．
综上知，存在a=

3

2

符合题意．

点评：本题考查三角函数的最值的求法，考查换元法转化为二次函数的最值，注意讨论对称轴与区间的关系，考查运算化简能力，属于中档题和易错题．