Question

已知函数f（x）=x+

1

x

，g（x）=

1

x

（x＞0）．
（Ⅰ）判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设定点A（a，a），P是函数g（x）图象上的动点，若|

AP

|的最小值为2

2

，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）用单调性的定义证明f（x）在[1，+∞） 上是增函数；
（Ⅱ）求出|

AP

|的表达式，讨论a的值，求出|

AP

|取最小值2

2

时，实数a的值是什么．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在[1，+∞） 上是增函数；…（1分）
证明如下：在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴f（x₁）=x₁+

1

x1

，f（x₂）=x₂+

1

x2

；
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

；
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞） 上是增函数；…（4分）
（Ⅱ）|

AP

|=

(a-x)2+(a- 1 x )2

=

(x+ 1 x )2-2a(x+ 1 x )+2a2-2

，
令t=x+

1

x

，由（Ⅰ）知，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
同理可得f（x）在（0，1]上是减函数；
∴t≥2，
∴(x+

1

x

)2-2a（x+

1

x

）+2a²-2=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2（t≥2）；
若a＜2，当t=2时（t-a）²++a²-2有最小值2（a-1）²；
∴

2

|a-1|=2

2

，解得a=-1或a=3（舍）；
若a≥2，当t=a时，有（t-a）²+a²-2最小值a²-2；
∴

a2-2

=2

2

，a=

10

或a=-

10

（舍）；
综上，a=-1或a=

10

…（12分）

点评：本题考查了函数的单调性的判断与证明问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．