Question

已知函数f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（1）求证：f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

x1x2

）；
（2）若f（

a+b

1+ab

）=1，f（-b）=

1

2

，求f（a）的值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：计算题

分析：（1）分别表示出f（x₁），f（x₂），f（

x1+x2

x1x2

）；即可证出等式；
（2）由f（

a+b

1+ab

）=1表示出a，由f（-b）=

1

2

求出值，求出a值，代入求出f（a）．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₂

1+x

1-x

，
∴f（x₁）+f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

+log2

1+x2

1-x2

=log2

1+x1

1-x1

•

1+x2

1-x2

=log2

x1x2+x1+x2

x 1x2-x1-x2

f（

x1+x2

x1x2

）=log2

1+ x1+x2 x1x2

1- x1+x2 x1x2

=log2

x1x2+x1+x2

x 1x2-x1-x2

，
∴f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

x1x2

）；
（2）∵f（

a+b

1+ab

）=1，
∴

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

=2，
∴a=

1-3b

3-b

，
∵f（-b）=

1

2

，
∴log₂

1-b

1+b

=

1

2

，解得b=2

2

-3，
∴a=

1-3(2 2 -3)

3-(2 2 -3)

=

5-3 2

3- 2

∴f（a）=log2

1+a

1-a

=log2

1+ 5-3 2 3- 2

1- 5-3 2 3- 2

=log22

2

=

3

2

点评：本题考查对数的运算法则及运算能力，属于一道中档题．