Question

20．已知函数f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|-|2x+1|．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证：$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{z}^{2}}{y}$+$\frac{{x}^{2}}{z}$≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出函数的图象，即可求f（x）的值域；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：函数f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{3}{2}，x＜-\frac{1}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{-x-\frac{3}{2}，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
函数的图象如图所示，则函数的值域为（-∞，1]；
（Ⅱ）证明：由题意x，y，z均为正实数，x+y+z=1，
由柯西不等式可得（x+y+z）（$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{z}^{2}}{y}$+$\frac{{x}^{2}}{z}$）≥（y+z+z）²=1，
∴$\frac{{y}^{2}}{x}$+$\frac{{z}^{2}}{y}$+$\frac{{x}^{2}}{z}$≥1．

点评 本题考查绝对值函数的值域，考查不等式的证明，考查柯西不等式，属于中档题．