Question

11．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由点（$\frac{π}{3}$，2）在函数图象上，结合范围-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，从而解得函数解析式．
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x），利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为15分）
解：（Ⅰ）由图象知，A=2，…（2分）
又$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，ω＞0，
所以T=2π=$\frac{2π}{ω}$，得ω=1．…（4分）
所以f（x）=2sin（x+φ），
将点（$\frac{π}{3}$，2）代入，得$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ（k∈Z），又-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
所以，φ=$\frac{π}{6}$．…（6分）
所以f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
故函数y=f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．…（8分）
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，
得到的图象对应的解析式为：y=2sinx，
再把横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：g（x）=2sin2x，…12分
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x≤$\frac{2π}{3}$，
∴2sin2x∈[-1，2]，可得：g（x）∈[-1，2]…15分

点评 本题是中档题，主要考查了函数的图象求出函数的解析式的方法，考查了正弦函数的图象和性质和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，注意视图用图能力的培养．