Question

10．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A₁DE．若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中正确是①④．（填序号即可）
①|BM|是定值；
②总有CA₁⊥平面A₁DE成立；
③存在某个位置，使DE⊥A₁C；
④存在某个位置，使MB∥平面A₁DE．

Answer 1

分析 对于①：由余弦定理可得MB²=MF²+FB²-2MF•FB•cos∠MFB，可得MB是定值，可得正确；
对于②：由反证法即可证明；
对于③：A₁C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得不正确；
对于④：取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A₁DE，可得正确；

解答 解：对于①：由∠A₁DE=∠MFB，MF=$\frac{1}{2}$A₁D=定值，FB=DE=定值，
由余弦定理可得MB²=MF²+FB²-2MF•FB•cos∠MFB，
所以MB是定值，故①正确．
对于②：由反证法，若总有CA₁⊥平面A₁DE成立，可得：总有CA₁⊥平面A₁E成立，错误；
对于③：∵A₁C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，
∴存在某个位置，使DE⊥A₁C不正确．可得③不正确．
对于④：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA₁，BF∥DE，
∴平面MBF∥平面A₁DE，
∴MB∥平面A₁DE，故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题．