Question

8．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜x，且f（2）=1，则不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²-1的解集为（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$x²-1），求出函数g（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求出解集．

解答 解：设g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$x²-1），
则函数的导数g′（x）=f′（x）-x，
∵f′（x）＜x，
∴g′（x）=f′（x）-x＜0，
即函数g（x）为减函数，
且g（2）=f（2）-（$\frac{1}{2}$×4-1）=1-1=0，
即不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²-1等价为g（x）＜0，
即等价为g（x）＜g（2），
解得x＞2，
故不等式的解集为{x|x＞2}．
故选：D．

点评 本题主要考查了不等式的求解以及构造函数，利用导数研究函数的单调性问题，是综合性题目．