Question

5．如表提供平罗中学某班研究性课题小组在技术改造后制作一玩具模型过程中记录的产量x（个）与相应的花费资y（百元）的几组对照数据

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）问该小组技术改造后制作10个这种玩具模型估计需要多少资金？
（附：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值）

Answer 1

分析 （1）由题意计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归直线方程的系数$\stackrel{∧}{b}$和$\stackrel{∧}{a}$，即可写出线性回归方程；
（2）利用回归直线方程计算x=10时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由题意知，计算
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86，
则回归直线方程的系数为
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
所以y关于x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35；
（2）利用回归直线方程，计算x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=0.7×10+0.35=7.35；
所以技术改造后制作10个这种玩具模型估计需要7.35百元，即735元．

点评 本题考查了线性回归直线方程的求法与应用问题，是基础题目．