Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|，?x∈R，使得f（x）≤t²-

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t成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：f（x）=|2x+1|-|x-2|，通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，解相应的不等式，可求得f（x）_min=f（-

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）=-

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，依题意，解不等式t²-

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t≥f（x）_min=-

5

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即可．

解答： 解：因为f（x）=|2x+1|-|x-2|，
所以，当x＜-

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时，f（x）=-2x-1-（2-x）=-3-x，f（x）≥-3+

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=-

5

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；
当-

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≤x≤2时，f（x）=3x-1，-

5

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≤f（x）≤5；
当x＞2时，f（x）=x+3，f（x）＞5；
综上所述，f（x）_min=f（-

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）=-

5

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；
存在x∈R，使得f（x）≤t²-

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t成立，只须使t²-

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t≥f（x）_min=-

5

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，
解不等式2t²-11t+5≥0得t≤

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或t≥5，
所以，实数t的取值范围为（-∞，

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]∪[5，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与恒成立问题，求得f（x）_min=f（-

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）=-

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是关键，考查运算求解能力，属于中档题．