Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求f′（x），得f′（x）=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

，再由-a入手，讨论f′（x）的正负，从而的函数的单调区间．
（2）应用第（1）问的结论，只要保证函数f（x）在（1，+∞）上递增即可．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

，x∈（0，+∞）
当a≤0时，-a≥0，∴x²+x-a＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，方程x²+x-a=0的两根分别为x₁=

-1- 1+4a

2

与x₂=

-1+ 1+4a

2

，不难看出x₂＞0，
∵x＞0，∴当0＜x＜

-1+ 1+4a

2

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞

-1+ 1+4a

2

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上知：当a≤0时，（0，+∞）是f（x）的单调增区间；
当a＞0时，（0，

-1+ 1+4a

2

）是f（x）的单调减区间；，（

-1+ 1+4a

2

，+∞）是f（x）的单调增区间．
（2）当a≤0时，由（1）知（0，+∞）是f（x）的单调增区间，∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
当a＞0时，由（1）知（

-1+ 1+4a

2

，+∞）是f（x）的单调增区间，∴

-1+ 1+4a

2

≤1，解得a≤2，
综上：a≤2．

点评：本题主要考查导数的综合应用，在判断导数的正负时要灵活多变．