Question

已知函数f（x）=x²+2（a-2）x+4，当x∈[-3，1]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：首先把二次函数的一般式转化成顶点式，根据对称轴方程与固定区间的关系，分三种情况进行讨论①当-3≤2-a≤1时②当1＜2-a时③当2-a＜-3时，然后根据恒成立问题求的结果．

解答： 解：函数f（x）=x²+2（a-2）x+4=[x+（a-2）]²-（a-2）²+4
函数为开口方向向上，对称轴方程为：x=2-a
①当-3≤2-a≤1时，即1≤a≤5 f(x)min=f(2-a)=-(a-2)2+4=-a²+4a
所以只需-a²+4a＞0恒成立即可，解得：0＜a＜4
实数a的取值范围：1≤a＜4
②当1＜2-a时，即a＜1
所以只需2a+1＞0恒成立即可，解得：a＞-

1

2

实数a的取值范围：-

1

2

＜a＜1
③当2-a＜-3时，即a＞5 f（x）_min=f（-3）=25-6a
所以只需25-6a＞0恒成立即可，解得：a＜

25

6

实数a的取值范围：Φ
综上所述：实数a的取值范围：-

1

2

＜a＜4
故答案为：-

1

2

＜a＜4

点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴不固定区间固定的讨论，对某一区间内的恒成立问题，一元二次不等式的解法．