Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是AB、AD的中点．
（1）求证：EF⊥AC₁；
（2）求BD₁与平面AFD₁所成的角；
（3）求三棱锥B-AFD₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AC⊥BD，CC₁⊥BD，EF∥BD，从而BD⊥平面ACC₁，由此能证明EF⊥AC₁．
（2）由AB⊥平面AFD₁，得∠BD₁A是BD₁与平面AFD₁所成的角，由此能求出BD₁与平面AFD₁所成的角．
（3）由S△AFD1=

1

2

×

1

2

×a×a=

1

4

a2，能求出三棱锥B-AFD₁的体积．

解答： （1）证明：∵在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
点E、F分别是AB、AD的中点，
∴AC⊥BD，CC₁⊥BD，EF∥BD，
∴BD⊥平面ACC₁，
∴EF⊥平面ACC₁，∴EF⊥AC₁．
（2）解：∵AB⊥平面AFD₁，
∴∠BD₁A是BD₁与平面AFD₁所成的角，
∵AB=a，AD₁=

2

a，
∴tan∠BD₁A=

AB

AD1

=

a

2 a

=

2

2

，
∴BD₁与平面AFD₁所成的角为arctan

2

2

．
（3）解：∵S△AFD1=

1

2

×

1

2

×a×a=

1

4

a2，
∴三棱锥B-AFD₁的体积：
V=

1

3

×S△AFD1×AB=

1

3

×

1

4

a2×a=

1

12

a3．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．