Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

．
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数f（x）的定义域和值域都为[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）函数f（x）为奇函数，且定义域为R，由f（0）=0求a的值；
（Ⅱ）把a=2代入函数解析式，假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，则有

f(m)=m f(n)=n

，即m、n是方程
f（x）=x的两个不等负根，然后分析方程2-

2

2x+1

=x无负根说明假设错误．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，即a-1=0，a=1；
（Ⅱ）不存在实数m、n满足题意．
当a=2时，f（x）=2-

2

2x+1

，
∵y=2^x在R上是增函数，∴f（x）在R上是增函数．
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，则有

f(m)=m f(n)=n

，
即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根．
由2-

2

2x+1

=x，得2^x+1=-

2

x-2

．
令h（x）=2^x+1，g（x）=-

2

x-2

．
∵函数g（x）在（-∞，0]上单调递增，
∴当x＜0时，g（x）＜g（0）=1．
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x），
∴方程2^x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上无解．
故不存在实数m、n满足题意．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，考查了由函数的单调性求函数的值域，训练了存在性问题的证明方法，是中档题．