Question

已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

bn

2n-3(n+1)n

}的前n项和为S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列求出中间项，通过这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列，求出公差，求数列{b_n}的通项公式；
（2）化简

bn

2n-3(n+1)n

为两个表达式的差，利用裂项消项法求解前n项和为S_n．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）设三个数分别为a-d，a，a+d，
∴a-d+a+a+d=15，
解得a=5…（2分）
三个数为5-d，5，5+d为正数，-5＜d＜5，
由题意知b₃=7-d，b₄=10，b₅=18+d成等比数列，…（4分）
∴10²=（7-d）（18+d），
∴d=2或 d=-13（舍），
∴b₃=5，b₄=10，b₅=20．…（6分）
∴bn=b3qn-3=5•2n-3；…（8分）
（2）由题意知

bn

2n-3(n2+n)

=

5•2n-3

2n-3(n2+n)

=5(

1

n

-

1

n+1

)…（10分）
Sn=5(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=5(1-

1

n+1

)=

5n

n+1

…（14分）

点评：本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和分方法，是中档题．