题目内容
已知偶函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（a，b∈R）的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式为 ．
考点：函数解析式的求解及常用方法
专题：函数的性质及应用
分析：根据函数f（x）是偶函数，得到2a+ab=0，分别讨论a=0，b=-2的情况，从而求出函数f（x）的表达式．
解答：
解：∵f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2，
函数f（x）是偶函数，
∴2a+ab=0，解得a=0，或b=-2，
当a=0时，f（x）=bx2，值域不是（-∞，4]，不合题意，
当b=-2时，f（x）=-2x2+2a2，由f（x）的值域是（-∞，4]，
∴2a2=4，
∴f（x）=-2x2+4，
故答案为：-2x2+4．
函数f（x）是偶函数，
∴2a+ab=0，解得a=0，或b=-2，
当a=0时，f（x）=bx2，值域不是（-∞，4]，不合题意，
当b=-2时，f（x）=-2x2+2a2，由f（x）的值域是（-∞，4]，
∴2a2=4，
∴f（x）=-2x2+4，
故答案为：-2x2+4．
点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的奇偶性，考查了分类讨论，是一道中档题．
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