Question

5．设函数$f（x）=b{x^3}-\frac{3}{2}（2b+1）{x^2}+6x+a（b＞0）$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设b=1，若方程f（x）=0有且只有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论即可得到函数的单调区间，
（2）代值，并求导，根据（1）得到函数的单调区间，求出函数的极值，依题意只需f（2）＞0或f（1）＜0即可．

解答 解：（1）f'（x）=3bx²-3（2b+1）x+6=3（x-2）（bx-1），
令f'（x）=0得x=2或$x=\frac{1}{b}$，
①当$\frac{1}{b}＜2$即$b＞\frac{1}{2}$时，f（x）在$（{-∞，\;\;\frac{1}{b}}）$和（2，+∞）上递增，在$（{\frac{1}{b}，\;\;2}）$上递减．
②当$\frac{1}{b}＞2$即$0＜b＜\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，2）和$（{\frac{1}{b}，\;\;+∞}）$上递增，在$（{2，\;\;\frac{1}{b}}）$上递减．
③当$\frac{1}{b}=2$即$b=\frac{1}{2}$时，f（x）在R上递增．
（2）b=1时，$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x+a$，
∴f'（x）=3x²-9x+6=3（x-2）（x-1），
∴f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减，
∴在x=2处取得极小值，在x=1处取得极大值，
∴依题意只需f（2）＞0或f（1）＜0即可，f（2）=2+a＞0，或$f（1）=\frac{5}{2}+a＜0$，
∴a＞-2或$a＜-\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的性质、方程的根问题的处理策略，考查利用导数研究函数的极值的知识，属中档题．