Question

20．定义在[1，e²]上的函数$f（x）=\frac{lnx}{x}$，则对任意的x∈[1，e²]，使f（x）单调递减的概率为$\frac{e}{e+1}$．

Answer 1

分析 求导数，由f'（x）＜0，解得函数在区间（e，e²]上单调递减，即可求出函数f（x）单调递减的概率．

解答 解：$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}（{e^2}≥x≥1）$，由f'（x）≥0，解得函数在区间[1，e]上单调递增，
由f'（x）＜0，解得函数在区间（e，e²]上单调递减，所以函数f（x）单调递减的概率$P=\frac{{{e^2}-e}}{{{e^2}-1}}=\frac{e}{e+1}$．
故答案为$\frac{e}{e+1}$．

点评 本题考查几何概型，考查导数知识的运用，属于中档题．