Question

16．已知等差数列{a_n}，a₃=4，a₂+a₆=10．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂+a₆=10．可知2a₄=10．a₄=5，d=a₄-a₃，a_n=a₃+（n-3）×d即可．    
（2）利用错位相减法求和

解答 解：（1）由a₂+a₆=10．
，可知2a₄=10．a₄=5，d=a₄-a₃=1，
所以{a_n}其通项公式为 a_n=a₃+（n-3）×1=n+1（n∈N^*）     
（2）T_n=$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{3}}+…+\frac{n+1}{{2}^{n}}$
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{4}{{2}^{4}}+…+\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
 $\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．
∴${T}_{n}=3-\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，及错位相减法求和，属于基础题．