Question

设函数f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，

2π

3

]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：原式可化简为f（x）=sin（2x-

π

3

），
（1）函数f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π；
（2）由2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，即可解得函数f（x）的单调递增区间[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]；
（3）当x∈[0，

2π

3

]时，有-

π

3

≤2x-

π

3

≤π，故有当2x-

π

3

=

π

2

时，f（x）_max=1，此时x=

5π

12

．

解答： 解：f（x）=sin2x-cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）；
（1）函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，
∴2kπ-

π

6

＜2x＜2kπ+

5π

6

（k∈Z），
函数f（x）的单调递增区间[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（3）∵0≤x≤

2π

3

，
∴0≤2x≤

4π

3

，
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤π，
∴当2x-

π

3

=

π

2

时，f（x）_max=1，此时x=

5π

12

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．