Question

已知a∈R，命题p：实系数一元二次方程x²+ax+2=0的两根都是虚数；命题q：存在复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1．
（1）若命题p中根的虚部为整数，求实数a的值；
（2）若命题p、q同为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,复数代数形式的混合运算

专题：计算题,函数的性质及应用,数系的扩充和复数

分析：（1）由实系数一元二次方程x²+ax+2=0的两根都是虚数知△=a²-8＜0，再令

± 8-a2

2

为非零整数求a；
（2）求命题p、q为真，再判断都为真时的要求即可．

解答： 解：（1）由已知可得△=a²-8＜0，
∴-2

2

＜a＜2

2

，
于是方程的根为

-a± 8-a2 i

2

，
由方程的虚部为整数时，

± 8-a2

2

为非零整数，
∴a=±2．
（2）若命题p为真命题，由（1）得，-2

2

＜a＜2

2

，
若命题q为真命题，
则复平面上的圆x²+y²=4和圆（x+a）²+y²=1有交点，
于是1≤|a|≤3，
故两个命题同时为真，则实数a的取值范围是（-2

2

，-1]∪[1，2

2

）．

点评：本题考查了二次方程的根的存在性及复数的定义，同时考查了复数的几何意义及命题的真假性的判断，属于中档题．