Question

已知函数f（x）=xlnx，
（1）求函数f（x）的单调区间和最小值．
（2）若函数F（x）=

f(x)-a

x

在[1，e]上的最小值为

3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1（x＞0），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和最小值．
（2）F′（x）=

x+a

x2

，由此根据实数a的取值范围进行分类讨论，结合导数性质能求出a的值．

解答： 解（本小题满分12分）
（1）∵f′（x）=lnx+1（x＞0），
令f′（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1．
∴x≥e^-1=

1

e

，∴x∈[

1

e

，+∞）．
同理，令f′（x）≤0，可得x∈（0，

1

e

]．
∴f（x）单调递增区间为[

1

e

，+∞），单调递减区间为（0，

1

e

]，
由此可知y=f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

．
（2）F′（x）=

x+a

x2

，
当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x）_min=F（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

∉[0，+∞），舍去．
当a＜0时，F（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增，
若a∈（-1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x）_min=F（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

∉（-1，0），舍去；
若a∈[-e，-1]，F（x）在[1，-a]上单调递减，在[-a，e]上单调递增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
a=-

e

∈[-e，-1]；
若a∈（-∞，-e），F（x）在[1，e]上单调递减，
F（x）_min=F（e）=1-

a

e

=

3

2

，
∴a=-

e

2

∉（-∞，-e），舍去．
综上所述：a=-

e

．

点评：本题考查函数的单调区间的最小值的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．