Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

Sn

n

），n∈N^*在直线y=x-13上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）指出n取何值时S_n取得最小值，并求出S_n的最小值；
（3）若数列{b_n}满足b_n=（

1

2

） an+13，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）先求出S_n，然后利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1代入求解，最后验证首项即可；
（2）由a_n=2n-14≤0，可得n≤7，即可指出n取何值时S_n取得最小值，并求出S_n的最小值；
（3）求出数列{b_n}的通项，可得数列{b_n}是以

1

2

为首项，

1

4

为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）∵点（n，

Sn

n

），n∈N^*在直线y=x-13，
∴

Sn

n

=n-13，S_n=n²-13n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-13n）-[（n-1）²-12（n-1）]=2n-14；
当n=1时，a₁=S₁=-12，符合题意．
所以a_n=2n-14（n∈N^*）．
（2）a_n=2n-14≤0，∴n≤7，
∴n取6或7时S_n取得最小值，S_n的最小值为

6(-12-2)

2

=-42；
（3）b_n=（

1

2

） an+13=(

1

2

)2n-1，
∴

bn+1

bn

=

1

4

，b₁=

1

2

，
∴数列{b_n}是以

1

2

为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

2

3

（1-

1

4n

）．

点评：本题重点考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和公式，同时考查了学生的计算能力、分析解决问题的能力，属于中档题．