Question

已知函数f（x）=

x+ 1 x (x＞0) x2+4(x≤0)

g（x）=x²+2x，则方程f[g（x）]=a（a＞2）的根的个数不可能为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：分段函数的应用,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法将方程进行分解，作出对应的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：设t=g（x），则方程等价为f（t）=a，a＞2，
作出f（x）的图象如图：
∵a＞2，
∴当a≥4时，f（t）=a有三个解，满足t≤0或者0＜t＜1或t＞1．
当2＜a＜4时，f（t）=a有两个解，满足0＜t＜1或t＞1．
对应g（x）的图象为：
则当t＞1时，方程t=g（x），有两个根，
当0＜t＜1时，方程t=g（x），有两个根，
当t≤0时，方程t=g（x），可能有两个根，可能有一个，可能没有，
即方程方程f[g（x）]=a（a＞2）至少有4个根，
故方程f[g（x）]=a（a＞2）的根的个数不可能为3，
故选：A

点评：本题主要考查方程根的个数的判断，利用换元法以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．