Question

7．已知函数f（x）=e^x-kx+k（k∈R）．
（1）试讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）若该函数有两个不同的零点x₁，x₂试求实数k取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论k的范围求出函数的单调区间即可；
（2）结合题意得到k＞0时，函数的单调性，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-kx+k，（k∈R），则f′（x）=e^x-k，
讨论：若k≤0，则f′（x）＞0，故f（x）在定义域上单调递增；
若k＞0，令f′（x）＞0，解得x＞lnk；令f′（x）＜0，解得x＜lnk，
综上：当k≤0时，f（x）的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当k＞0时，f（x）的单调递增区间为（lnk，+∞），单调递减区间为（-∞，lnk），
（2）由题意：由（1）可知，当k≤0时，函数至多只有一个零点，不符合题意，舍去；
k＞0时，令f（lnk）=e^lnk-klnk+k＜0，解得k＞e²，
此时f（1）=e＞0；x→+∞时，f（x）→+∞＞0，
因此会有两个零点，符合题意．
综上：实数k的取值范围是（e²，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．