Question

19．当0＜a＜1时，不等式${log_a}（4-3x）＞-{log_{\frac{1}{a}}}（2+x）$的解集是（$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 不等式等价于${log_a}（4-3x）＞-{log_{\frac{1}{a}}}（2+x）$=log_a（x+2），等价于 $\left\{\begin{array}{l}{4-3x＞0}\\{x+2＞0}\\{4-3x＜x+2}\end{array}\right.$，由此求得x的范围．

解答 解：当0＜a＜1时，不等式${log_a}（4-3x）＞-{log_{\frac{1}{a}}}（2+x）$，
等价于 ${log_a}（4-3x）＞-{log_{\frac{1}{a}}}（2+x）$=${log}_{\frac{1}{a}}\frac{1}{x+2}$=log_a（x+2），
等价于 $\left\{\begin{array}{l}{4-3x＞0}\\{x+2＞0}\\{4-3x＜x+2}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{4}{3}$，
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题主要考查对数函数的定义域和单调性，对数不等式的解法，属于基础题．