Question

从双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|-|TM|=（　　）

• A、

  b-a

  2

• B、b-a
• C、

  a+b

  2

• D、a+

  b

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用圆的切线的性质可得|FT|=

|OF|2-|OT|2

=

c2-a2

=b．再利用三角形的中位线定理、双曲线的定义可得：|OM|=

1

2

|PF1|，|TM|=

1

2

|PF|-|FT|，|PF|-|PF₁|=2a，即可得出．

解答： 解：∵FT与⊙O相切于点T，
∴OT⊥FT．
∴|FT|=

|OF|2-|OT|2

=

c2-a2

=b．
∵点M是线段FP的中点，
∴|OM|=

1

2

|PF1|，|TM|=

1

2

|PF|-|FT|．
又|PF|-|PF₁|=2a，
∴|OM|-|TM|=

1

2

(|PF1|-|PF|)+|FT|
=

1

2

×(-2a)+b
=b-a．
故选：B．

点评：本题考查了圆的切线的性质、三角形的中位线定理、双曲线的定义、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．