Question

若（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展开式中前三项系数成等差数列．
（1）求展开式中所有的有理项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）展开式中前三项的系数分别为1，

n

2

，

n(n-1)

8

，成等差数列可得n的值，再写出通项，即可得出展开式中的有理项；
（2）运用二项式系数的性质，求解展开式中的二项式系数最大的项．设第k项的系数最大，列出不等式组，解得k的范围，再结合通项公式以及k为整数，求得展开式中系数最大的项．

解答： （1）解：由于T_r+1=

C

r n

•(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

r n

(

1

2

)rx

2n-3r

4

，
则展开式中前三项的系数分别为1，

n

2

，

n(n-1)

8

，
则有2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，解得n=8（1舍去）．
则T_r+1=

C

r 8

(

1

2

)rx

16-3r

4

，
则有r=0，4，8时，为有理项，且为x⁴，

C

4 8

•(

1

2

)4x=

35

8

x，

1

256

x^-2．
（2）解：而n=8展开式共有9项，
中间一项二项式系数最大，即为T₅=

35

8

x，
设第k项的系数最大，
则有

C k-1 8 ( 1 2 )k-1 ≥C k 8 ( 1 2 )k C k-1 8 ( 1 2 )k-1 ≥C k-2 8 ( 1 2 )k-2

，解得 3≤k≤4，
故系数最大的项为第三项T₃=7x

5

2

 和 第四项T₄=7x

7

4

．

点评：本题考查二项式定理的应用及等差数列的性质，考查组合数的计算公式，二项展开式的通项公式，关键是掌握二项展开式的通项公式．