Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-D的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD=

3

，由此能证明PA⊥BD．
（2）作AM垂直于PB于M点，连DM，则AD⊥平面PBD从而∠AMD为二面角A-PB-D的平面角，由此能求出其正切值．

解答： （1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得BD=

3

AD=

3

，…（2分）
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，…（3分）
∵PD⊥面ABCD，BD?面ABCD，∴PD⊥BD…（4分）
又AD∩PD=D，
所以BD⊥平面PAD…（5分）
故PA⊥BD．…（6分）
（2）解：作AM垂直于PB于M点，连DM，
由已知得AD⊥平面PBD
所以AD⊥BD，又AM⊥BD
BD⊥平面ADM所以BD⊥DM
所以∠AMD为二面角A-PB-D的平面角，
AD=1，DM=

3

2

，
tan∠AMD=

AD

DM

=

2

3

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．