Question

已知f（log_ax）=

1

a-1

(x-

1

x

)（其中a是大于1的常数）
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）探讨函数y=f（x）的性质，并利用其性质解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设t=log_ax，a＞1，t∈R则x=a^t，代入即可求解函数式子．（2）根据指数函数判断单调性，在运用奇偶性的定义判断为奇函数，即可求解1-m²＜m-1，就能够得到答案．

解答： 解：（1）设t=log_ax，a＞1，t∈R则x=a^t，
∵f（log_ax）=

1

a-1

(x-

1

x

)（其中a是大于1的常数）
∴f（t）=

1

a-1

（a^t-a^-t），（其中a是大于1的常数）
∴函数y=f（x）=

1

a-1

（a^x-a^-x），（a＞1，常数）
（2）∵f（-x）=）=

1

a-1

（a^-x-a^x）=-f（x），（a＞1，常数）
∴f（x）为奇函数，
∵x₁＜x₂，a x1＜ax2，a -x1＞a -x2，
∴a x1-ax2＜0，a -x1-a -x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

a-1

（（a x1-ax2）-（a -x1-a-x2））＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数y=f（x）=

1

a-1

（a^x-a^-x），（a＞1，常数）单调递增函数．
∵不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．
∴1-m²＜m-1，
m²+m-2＞0，
即m＞1或m＜-2，
故不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的解集为：（-∞，-2）∪（1，+∞）

点评：本题考察了指数函数的单调性，复合函数的奇偶性，单调性，运用解决不等式，属于中档题．