Question

某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为

2

3

、

2

3

、

1

2

，他们考核所得的等次相互独立．
（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）先求都没有得优秀的概率，再利用对立事件求出至少有一名考核为优秀的概率；（2）先求出随机变量ξ的值为0，20，40，60，根据概率公式求出P（ξ=0），
P（ξ=20），P（ξ=40），P（ξ=60），的概率数值，列出分布列，求出数学期望．

解答： 解：∵甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为

2

3

、

2

3

、

1

2

，
∴甲、乙、丙考核为不优秀的概率分别为

1

3

、

1

3

、

1

2

，
（1）根据独立事件同时发生的概率求解方法得出：
在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率：
1-

1

3

×

1

3

×

1

2

=

17

18

（2）∵随机变量ξ的值为0，20，40，60
∴P（ξ=0）=

1

18

，
P（ξ=20）=

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

=

5

18

，
P（ξ=40）=

2

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

4

18

+

2

18

+

2

18

=

8

18

=

4

9

，
P（ξ=60）=

2

3

×

2

3

×

1

2

=

4

18

=

2

9

，
分布列为：

ξ	0	20	40	60
P	1 18	5 18	4 9	2 9

数学期望为：0×

1

18

+20×

5

18

+40×

4

9

+60×

2

9

=

330

9

=

110

3

点评：本题考查了离散型的概率分布，数学期望，分布列，对立事件，相互独立事件发生的概率，属于中档题．