Question

已知函数f_n（x）=x³-nx-1（x＞0），n∈N^*．
（Ⅰ）求函数f₃（x）的极值；
（Ⅱ）判断函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上零点的个数，并给予证明；
（Ⅲ）阅读右边的程序框图，请结合试题背景简要描述其算法功能，并求出执行框图所表达的算法后输出的n值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,程序框图

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,算法和程序框图

分析：（Ⅰ）写出f3（x），求出导数，令导数大于0，小于0，得到单调区间，从而得到极小值；
（Ⅱ）函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上有且只有一个零点．运用零点存在定理，说明存在一个零点，再判断f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上单调递增，即可得证；
（Ⅲ）程序框图的算法功能：找出最小的正整数n，使f_n（x）的零点a_n满足

n + n+1

2

≥an．
根据f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上单调递增，判断当n≤3时，

n + n+1

2

＜an；当n≥4时，

n + n+1

2

＞an．即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f3(x)=x3-3x-1，∴f3′(x)=3x2-3，
∵当x＞1时，f3′(x)＞0，函数递增；当0＜x＜1时，f3′(x)＜0，函数递减．
∴当x=1时，f₃（x）取得唯一的一个极小值-3，无极大值；
（Ⅱ）函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上有且只有一个零点．
证明如下：∵fn(

n

)=(

n

)3-n

n

-1=-1＜0，fn(

n+1

)=(

n+1

)3-n

n+1

-1=

n+1

-1＞0，fn(

n

)•fn(

n+1

)＜0，
∴函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上必定存在零点．
∵fn′(x)=3x2-n，∴当x∈(

n

，

n+1

)时，fn′(x)＞3(

n

)2-n=2n＞0，
∴f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上单调递增，
∴函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上的零点最多一个．
综上知：函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上存在唯一零点；
（Ⅲ）程序框图的算法功能：找出最小的正整数n，使f_n（x）的零点a_n满足

n + n+1

2

≥an．
∵fn(

n + n+1

2

)=(

n + n+1

2

)3-n•

n + n+1

2

-1=

3 n + n+1

8

-1，
∴当0＜n≤3时，fn(

n + n+1

2

)＜0=fn(an)；
当n≥4时，fn(

n + n+1

2

)＞0=fn(an)．
又∵f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上单调递增，
∴当n≤3时，

n + n+1

2

＜an；当n≥4时，

n + n+1

2

＞an．
∴输出的n值为4．

点评：本题主要考查函数、导数、零点、算法初步等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．