Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，若椭圆上有且只有两点M、N，使得∠F₁MF₂=∠F₁NF₂=90°．求：
（1）椭圆的离心率；
（2）若椭圆C与直线y=

2

2

的交点是A、B两点，且△F₁AB的面积为

2

2

，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于椭圆上有且只有两点M、N，使得∠F₁MF₂=∠F₁NF₂=90°，可得点M，N必定是椭圆的短轴的上下两个端点．因此b=c，即可得出e=

c

a

=

1-( b a )2

．
（2）由于椭圆C与直线y=

2

2

的交点是A、B两点，且△F₁AB的面积为

2

2

，可得

1

2

×

2

2

×|AB|=

2

2

，解得|AB|=2．不妨设A(1，

2

2

)，代入椭圆的方程可得

1

a2

+

1

2b2

=1，而a²=2b²，解出即可．

解答： 解：（1）∵椭圆上有且只有两点M、N，使得∠F₁MF₂=∠F₁NF₂=90°，
∴点M，N必定是椭圆的短轴的上下两个端点．
∴b=c，
∴e=

c

a

=

1-( b a )2

=

2

2

．
（2）∵椭圆C与直线y=

2

2

的交点是A、B两点，且△F₁AB的面积为

2

2

，
∴

1

2

×

2

2

×|AB|=

2

2

，
解得|AB|=2．
不妨设A(1，

2

2

)，
代入椭圆的方程可得

1

a2

+

1

2b2

=1，而a²=2b²，
解得b²=1，a²=2．
∴椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．