Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n+1，若数列{b_n}满足b_n=

2

an•an+1

，则其前n项和T_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由于S_n=n²+2n+1，利用“当n≥2时，S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁”即可得出a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：∵S_n=n²+2n+1，
∴当n≥2时，S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，
当n=1时，a₁=S₁=3，上式也成立．
∴a_n=2n+1．
∴b_n=

2

an•an+1

=

2

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

．
则其前n项和T_n=(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

3

-

1

2n+3

=

2n

6n+9

．
故答案为：

2n

6n+9

．

点评：本题考查了利用“当n≥2时，S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁”求a_n、“裂项求和”的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．