Question

若函数y=f（x）对于一切实数x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并证明y=f（x）是奇函数；
（2）当x＞0时，f（x）＜0，求函数y=f（x）的单调性；
（3）若f（1）=3，在（2）的情况下，解不等式f（x）＜-9．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件，令x=y=0，则f（0）=2f（0），即可得到f（0），由条件可令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，由奇偶性的定义即可判断；
（2）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由于当x＞0时，恒有f（x）＜0，则f（x₂-x₁）＜0，即有f（x₂）+f（-x₁）＜0，再由（2）的结论和单调性的定义，即可判断．
（3）先求出f（-3）=9，根据函数的单调性得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是奇函数；
（2）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由于当x＞0时，恒有f（x）＜0，
则f（x₂-x₁）＜0，即有f（x₂）+f（-x₁）＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
故x∈R时，f（x）为单调递减函数．
（3）∵f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=[f（1）+f（1）]+f（1）=3f（1）=9，
又y=f（x）是奇函数；
∴f（-3）=-f（3）=-9，
∵f（x）＜-9=f（-3），
又f（x）为单调递减函数．
∴x＞-3
故不等式的解集为（-3，+∞）

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．